Application of root finding

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Roots of random polynomials

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On peut poursuivre les opérations aussi longtemps qu'il convient. Cette méthode fut l'objet de publications antérieures. En , Joseph Raphson en publia une description simplifiée dans Analysis aequationum universalis. Raphson considérait la méthode de Newton toujours comme une méthode purement algébrique et restreignait aussi son usage aux seuls polynômes.

Toutefois, il mit en évidence le calcul récursif des approximations successives d'un zéro d'un polynôme au lieu de considérer comme Newton une suite de polynômes. C'est Thomas Simpson - qui généralisa cette méthode au calcul itératif des solutions d'une équation non linéaire, en utilisant les dérivées qu'il appelait fluxions , comme Newton [ 4 ].

Simpson appliqua la méthode de Newton à des systèmes de deux équations non linéaires à deux inconnues [ 5 ] , en suivant l'approche utilisée aujourd'hui pour des systèmes ayant plus de 2 équations, et à des problèmes d'optimisation sans contrainte en cherchant un zéro du gradient [ 6 ]. Arthur Cayley fut le premier à noter la difficulté de généraliser la méthode de Newton aux variables complexes en [ 7 ] , par exemple aux polynômes de degré supérieur à 3. On pourra consulter l'article de Ypma pour d'autres informations sur l'historique de l'algorithme.

Méthode de Newton

Cet auteur attribue l'absence de reconnaissance aux autres contributeurs de l'algorithme au livre influent de Fourier, intitulé Analyse des Équations Déterminées , lequel décrivait la méthode newtonienne sans faire référence à Raphson ou Simpson. On va donc chercher à construire une bonne approximation d'un zéro de la fonction d'une variable réelle f x en considérant son développement de Taylor au premier ordre.

On obtient alors un point x 1 qui en général a de bonnes chances d'être plus proche du vrai zéro de f que le point x 0 précédent. Cette méthode requiert que la fonction possède une tangente en chacun des points de la suite que l'on construit par itération, par exemple il suffit que f soit dérivable.

The default location

Bien que la méthode soit très efficace, certains aspects pratiques doivent être pris en compte. Avant tout, la méthode de Newton nécessite que la dérivée soit effectivement calculée. Dans les cas où la dérivée est seulement estimée en prenant la pente entre deux points de la fonction, la méthode prend le nom de méthode de la sécante , moins efficace d'ordre 1, qui est le nombre d'or et inférieure à d'autres algorithmes.

Par ailleurs, si la valeur de départ est trop éloignée du vrai zéro, la méthode de Newton peut entrer en boucle infinie sans produire d'approximation améliorée. La vitesse de convergence d'une suite x n obtenue par la méthode de Newton peut être obtenue comme application de la formule de Taylor-Lagrange.

Application of root finding

Il s'agit d'évaluer une majoration de log x n — a. On suppose que a se trouve être un zéro de f qu'on essaie d'approcher par la méthode de Newton. On fait l'hypothèse que a est un zéro d'ordre 1, autrement dit que f ' a est non nul. Dans tous les cas, il se peut que le critère d'arrêt soit vérifié en des points ne correspondant pas à des solutions de l'équation à résoudre. La méthode peut aussi être utilisée pour trouver des zéros de fonctions holomorphes.

Dans ce cadre, on connaît bien les comportements que peut avoir la suite des itérés de Newton. L'ensemble des points à partir desquels peut être obtenue une suite qui converge vers un zéro fixé s'appelle le bassin d'attraction de ce zéro. Pour beaucoup de fonctions complexes, le bassin d'attraction est une fractale. L'étude de la méthode de Newton pour les polynômes à variables complexes trouve naturellement sa place dans l'étude dynamique des fractions rationnelles et a été une des motivations récentes de l'étude de la dynamique holomorphe.

Dans la formulation donnée ci-dessus, il faut multiplier par l'inverse de la matrice jacobienne F ' x k au lieu de diviser par f ' x k. Évidemment, pour économiser du temps de calcul, on ne calculera pas l'inverse de la jacobienne, mais on résoudra le système d'équations linéaires suivant. Encore une fois, cette méthode ne fonctionne que pour une valeur initiale x 0 suffisamment proche d'un zéro de F. Il arrive parfois que la dérivée ou la matrice jacobienne pour un système d'équations à plusieurs variables de la fonction f soit coûteuse à calculer.

La dérivée peut alors être approchée au moyen de différences finies. Par exemple, en approchant la dérivée f ' x k par. Un contre-exemple est donné par Kummer [ 8 ]. Un algorithme analogue est encore possible en supposant un peu plus que la lipschitzianité de F , mais sa semi-lissité. Comme la méthode de Newton classique, l'algorithme de Newton semi-lisse converge sous deux conditions.

Il s'agit aussi d'un résultat de convergence locale , ce qui veut dire qu'il faut que le premier itéré soit choisi suffisamment près d'un zéro satisfaisant les conditions ci-dessus pour que la convergence ait lieu. Un état de l'art est donné par Izmailov et Solodov [ 9 ]. Dans certains cas, il arrive que l'on veuille éviter la condition de proximité entre notre valeur de départ et le zéro de la fonction.

Une solution est alors d'utiliser la méthode de Newton par intervalles [ 10 ] , [ 11 ]. On notera que l'hypothèse sur F' implique que N Y est bien défini et est un intervalle voir arithmétique d'intervalles pour plus de détails là dessus.